Transformée de Concordia

La transformée de Concordia, est un outil mathématique utilisé en électrotechnique pour modéliser un dispositif triphasé grâce à un modéle diphasé.

Philosophie de la transformée de Concordia

Exemple

Un dispositif diphasé constitué de deux bobines perpendiculaires l'une comparé à l'autre et parcourues par des courants déphasés entre eux de $π / 2$ sert à créer un champ tournant à la vitesse $ω$ .

Schéma

Un dispositif triphasé constitué de bobines et de courants déphasés entre eux de $\frac{2\pi}{3}$ sert à créer un champ tournant à la vitesse $ω$ .

Schéma

Mise en équations

On peut modéliser le champ tournant créé par dispositif triphasé par un dispositif diphasé grâce aux transformations suivantes :

$\begin{bmatrix} i_\alpha\\ i_\beta \end{bmatrix} = C_{23} \begin{bmatrix} i_a\\ i_b\\ i_c \end{bmatrix} \quad et \quad \begin{bmatrix} i_a\\ i_b\\ i_c \end{bmatrix} = C_{32} \begin{bmatrix} i_\alpha\\ i_\beta \end{bmatrix}$

avec :

$C_{23} = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \quad et \quad C_{32} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} \sqrt{2} & 0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{\frac{3}{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\sqrt{\frac{3}{2}} \end{bmatrix}$

Si on veut conserver la composante homopolaire les transformations deviennent :

$\begin{bmatrix} m_h\\ m_\alpha\\ m_\beta \end{bmatrix} = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_a\\ m_b\\ m_c \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} m_a\\ m_b\\ m_c \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} m_h\\ m_\alpha\\ m_\beta \end{bmatrix}$

où $T$ est la matrice de Concordia. Il existe aussi une transformation de Clarke qui est la même que celle de Concordia mais qui n'est pas normée. Elle ne conserve par conséquent pas la puissance lors des opérations matricielles.

$T = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{2} & 0\\ 1 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{\frac{3}{2}}\\ 1 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\sqrt{\frac{3}{2}} \end{bmatrix}$

Voir aussi

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